4.4 测量¶
import numpy as np
np.set_printoptions(4, suppress=True)
vec0 = np.array([1, 0])
vec1 = np.array([0, 1])
I = np.eye(2)
X = np.array([[0, 1], [1, 0]])
H = 1/np.sqrt(2) * np.array([[1, 1], [1, -1]])
P0 = np.outer(vec0, vec0)
P1 = np.outer(vec1, vec1)
练习 4.32¶
练习 4.32
设 \(\rho\) 是描述双量子系统的密度矩阵。假设在计算基中执行对第二个量子比特的测量，令 \(P_0 = |0\rangle\langle0|\) 和 \(P_1 = |1\rangle\langle1|\) 分别是第二个量子比特上到状态 \(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) 的投影。令 \(\rho'\) 是测量后，由一个不了解测量结果的观测者分配给系统的密度矩阵。证明
再证明第一量子比特的约化密度矩阵不受测量的影响，即 \(\mathrm{tr}_2 (\rho) = \mathrm{tr}_2 (\rho')\)。
警告
记号重新定义
首先我们沿用题目所给的记号 \(\rho, \rho' \in \mathbb{C}^4\)。我们认为 \(P_0, P_1 \in \mathbb{C}^2\) 是单量子比特算符。因此，实际的算符作用是在 \(\mathbb{C}^4\) 的双量子比特空间下完成。因此，待证等式应当是
这个等式看起来比较丑陋，但我想应该更合适一些。
测量定义回顾
我们需要先对基于投影算符的测量作回顾 (这本书也会提到基于 POVM 的测量，但我们希望把问题弄得简单一些)。对于 \(\mathbb{C}^2\) 下的量子比特 \(|\psi\rangle\)，测量得到态 \(|m\rangle\) 态的过程，使用算符作用的方式可以写为式 (2.104) 形式
其中，\(P_m = |m\rangle\langle m|\) 是投影算符，\(p_m = \langle \psi | P_m | \psi \rangle\) 是测量得到态 \(|m\rangle\) 的概率。
作为测量的结果的态的密度算符为
单量子比特测量后的密度矩阵
但是现在假使我们不知道测量的结果 (即不清楚到底投影到了 \(|0\rangle\) 还是 \(|1\rangle\))。但我们从 \(|\psi\rangle\) 的结构，应当能了解投影到 \(|0\rangle\) 和 \(|1\rangle\) 的概率分别为 \(p_0\) 和 \(p_1\)。那么此时，我们就依概率将两个密度算符加起来：
这就是单个粒子下，在我们不知道测量结果时，测量后体系的密度矩阵了。
我们考察一个实际的例子。若 \(|\psi\rangle\) 在计算基下的向量用下述程序表示为变量 v (通过随机数生成)，那么其密度矩阵 \(|\psi\rangle \langle\psi|\) 则可以用 rho_v：
v = np.random.randn(2) + np.random.randn(2) * 1j
v /= np.linalg.norm(v)
v
rho_v = np.outer(v.conj(), v)
rho_v
array([[0.8616+0.j , 0.2185-0.2675j],
[0.2185+0.2675j, 0.1384+0.j ]])
在 \(P_0 |\psi\rangle \langle\psi| P_0 + P_1 |\psi\rangle \langle\psi| P_1\) 作用下，只有对角元留了下来：
P0 @ rho_v @ P0 + P1 @ rho_v @ P1
array([[0.8616+0.j, 0. +0.j],
[0. +0.j, 0.1384+0.j]])
双量子比特测量后的密度矩阵
双量子比特的情形是类似的。既然我们的测量对第一个量子比特没有作修改，那么对于比特 \(|\phi\psi\rangle = |\phi\rangle \otimes |\psi\rangle\) 测量得到态 \(|\phi m\rangle\) 可以用算符表示为
若我们不知道到底测量后得到了什么态，则这个状态的密度矩阵表示为
又，依据题目的记号，测量前的态 \(|\phi\psi\rangle\) 对应的密度矩阵是 \(\rho\)，那么就意味着 \(\rho = |\phi\psi\rangle \langle\phi\psi|\)；而上面的表达式是测量后的密度矩阵 \(\rho'\)，那么
偏迹求取
随后，我们要求取 \(\rho'\) 与 \(\rho\) 的偏迹。\(\rho\) 不能写为简单的两个 \(\mathbb{C}^2\) 算符的直积；但它总可以表示为这种直积的线性组合。即，必然存在一系列 \(\mathbb{C}^2\) 空间下的算符 \(\{ \sigma_k, \varsigma_k \}\)，使得 \(\rho\) 可以写为下述形式：
那么，
我们对上式的其中一部分求迹：
上式成立的原因可以看讨论单量子比特测量后密度矩阵的时候，我们说 \(P_0 \varsigma_k P_0 + P_1 \varsigma_k P_1\) 的作用是保留 \(\varsigma_k\) 的对角元，而将所有非对角元剔除。在这个操作下，迹没有发生变化。
因此，\(\rho'\) 的偏迹可以写为
例子：Bell 态
对于其中一个 Bell 态，在计算基下的向量和其对应的密度矩阵是
vec_bell = np.array([1, 0, 0, 1]) / np.sqrt(2)
rho_bell = np.outer(vec_bell.conj(), vec_bell)
rho_bell
array([[0.5, 0. , 0. , 0.5],
[0. , 0. , 0. , 0. ],
[0. , 0. , 0. , 0. ],
[0.5, 0. , 0. , 0.5]])
对第二个粒子测量后，若不知道测量结果，则该态的密度矩阵是
rho_measured = np.kron(I, P0) @ rho_bell @ np.kron(I, P0) + np.kron(I, P1) @ rho_bell @ np.kron(I, P1)
rho_measured
array([[0.5, 0. , 0. , 0. ],
[0. , 0. , 0. , 0. ],
[0. , 0. , 0. , 0. ],
[0. , 0. , 0. , 0.5]])
偏迹的计算说明如下。实际上，双量子比特下的算符 \(A\) 应当是 \(\mathbb{C}^{2 \times 2 \times 2 \times 2}\) 空间下的张量；但为了书写与程序编写的方便，通常我们将其表示为 \(\mathbb{C}^{4 \times 4}\) 矩阵。实际上，它应当表述为
总地来说，张量 \(A\) 的元素可以用 \(A_{\alpha_1 \beta_1 \alpha_2 \beta_2}\) 表示；\(\alpha\) 和 \(\beta\) 分别与第一个和第二个量子比特有关，而写为矩阵时则合并角标 \(\alpha_1 \beta_1\) 与 \(\alpha_2 \beta_2\) 得到 \(A_{(\alpha_1 \beta_1), (\alpha_2 \beta_2)}\)。
现在我们的目标是求第二个量子比特的偏迹，那么做法是把与第二个量子比特有关的角标 \(\beta_1, \beta_2\) 作求和 (\(\delta_{\beta_1 \beta_2}\) 是 Kronecker Delta 函数)：
偏迹的求取在 Python 下不是难事；先将 \(4 \times 4\) 矩阵转换为 \(2 \times 2 \times 2 \times 2\) 张量，随后对 \(\beta_1, \beta_2\) 角标求迹即可。我们可以得到
rho_bell.reshape(2, 2, 2, 2).trace(axis1=1, axis2=3)
array([[0.5, 0. ],
[0. , 0.5]])
rho_measured.reshape(2, 2, 2, 2).trace(axis1=1, axis2=3)
array([[0.5, 0. ],
[0. , 0.5]])
练习 4.33 (在 Bell 基中的测量)¶
练习 4.33
我们对量子线路规定的测量模型限于计算基。然而，我们常在其它标准正交状态定义的基中执行测量。为执行这样的测量，只需要从我们希望在其中进行测量的基，酉变换到计算基，再进行测量。例如，证明图
执行了在 Bell 态下的测量。更精确地，证明这个线路导致相应的 POVM 元是到四个 Bell 态的投影的测量，并求出相应的测量算符是什么。
直观的分类讨论
我们让初态是 Bell 态，代入上述线路图的测量部分前，可以知道该线路的作用是
譬如我们测量得到了 \(|10\rangle\)，那么我们就知道，代入 CNOT 与 H 门之前，两个量子比特的状态是 Bell 态 \((|00\rangle - |11\rangle) / \sqrt{2}\)。这就对原来的题目作了证明。
POVM 元的讨论
上述的讨论其实是很严格的。但题目可能认为，使用算符的语言也可以作证明，并且更为精确，因此要求对 POVM 作讨论。
为了讨论方便，我们定义 \(\mathrm{CNOT}, H_1, P_{mn} \in \mathbb{C}^{4 \times 4}\) 是双量子比特算符，其中 \(m, n \in \{0, 1\}\) 表示计算基角标，
那么该线路所代表的测量算符相当于 \(M_{mn} = P_{mn} H_1 \mathrm{CNOT}\)。需要注意，既然它是测量算符，那么其作用于双量子比特态 \(|\Phi\rangle \in \mathbb{C}^2\) 后，得到的态应该要归一化：
注意上述测量算符 \(M_{mn}\) 与投影算符 \(P_{mn}\) 都作用于 \(|\Phi\rangle\) 得到了 \(|mn\rangle\)，但由于测量得到的概率不同即 \(\langle \Phi | M_{mn}^\dagger M_{mn} | \Phi \rangle \neq \langle \Phi | P_{mn}^\dagger P_{mn} | \Phi \rangle\)，因此还是有区别的。该算符的 POVM 是
上式我们用到了 \(\mathrm{CNOT}, \mathrm{H}_1, P_{mn}\) 的自伴算符与其自身相同的性质、以及 \(P_{mn}\) 作为投影算符的幂等性。
我们具体分析 \((m, n) = (1, 0)\) 的情况。在计算基下，POVM 算符 \(E_{10}\) 的矩阵表示可以计算得
CNOT = np.kron(P0, I) + np.kron(P1, X)
H1 = np.kron(H, I)
P10 = np.kron(P1, P0)
E10 = CNOT @ H1 @ P10 @ H1 @ CNOT
E10
array([[ 0.5, 0. , 0. , -0.5],
[ 0. , 0. , 0. , 0. ],
[ 0. , 0. , 0. , 0. ],
[-0.5, 0. , 0. , 0.5]])
我们再考察对于 Bell 基的其中一个态以及其在计算基下的向量表示：
其密度矩阵，即其测量算符 (定义)，即其 POVM (幂等性)，事实上等价于 POVM 算符 \(E_{10}\)：
vec = np.array([1, 0, 0, -1]) / np.sqrt(2)
np.outer(vec.conj(), vec)
array([[ 0.5, 0. , 0. , -0.5],
[ 0. , 0. , 0. , -0. ],
[ 0. , 0. , 0. , -0. ],
[-0.5, -0. , -0. , 0.5]])
np.linalg.det(CNOT @ H1 @ P10 @ H1 @ CNOT)
0.0
对于其它的情况，我们也一样能证明，该线路下的任何测量的 POVM 算符，总能对应到其中一个 Bell 态测量算符的 POVM。结论得证。
练习 4.34 (测量一个算符)¶
练习 4.34
设我们有一个具有特征值 \(\pm 1\) 的单量子比特上的算符 \(U\)，于是 \(U\) 既是 Hermite 的又是酉的，故可以看作既是一个可观测量又是一个量子门。假设我们希望测量可观测量 \(U\)，即我们希望获得指示两个特征值之一的测量结果，并将测量后的状态带到相应的特征向量。用一个量子线路如何实现？证明下面的线路实现了一个测量。
我们分析双量子比特 \(|0\rangle \otimes |\psi_\mathrm{in}\rangle\) 进入线路到测量之前的变化过程：
那么若测量第一个量子比特
得到 \(|0\rangle\)，那么 \(|\psi_\mathrm{out}\rangle\) 在不考虑归一化时，等于 \((I + U) |\psi_\mathrm{in}\rangle\)；
得到 \(|1\rangle\)，那么 \(|\psi_\mathrm{out}\rangle\) 在不考虑归一化时，等于 \((I - U) |\psi_\mathrm{in}\rangle\)。
下面考察一个有意思的现象。我们令算符 \(U\) 的两个本征态是 \(|a\rangle\) 与 \(|b\rangle\)，根据题意，令它们分别对应的本征值为 \(\lambda_a = 1, \lambda_b = -1\)；那么对于任意 \(|\psi_\mathrm{in}\rangle\)，总可以写为这两个线性无关本征态的线性叠加 (为了讨论方便，我们额外对 \(|\psi_\mathrm{in}\rangle\) 作要求 \(\alpha, \beta \neq 0\) 以避免零波函数输出)：
因此，
这意味着，若测量第一个量子比特
得到 \(|0\rangle\)，那么 \(|\psi_\mathrm{out}\rangle = |a\rangle\)；
得到 \(|1\rangle\)，那么 \(|\psi_\mathrm{out}\rangle = |b\rangle\)。
这相当于对第二个线路的算符进行了“测量”。
练习 4.35 (与控制可交换的测量)¶
练习 4.35
推迟测量原理的一个结论是，当被测量量子比特是一个量子门的控制量子比特时，测量量子比特和量子门可以交换，即
(在图中双线代表经典比特) 证明第一个等式。右边的等式只是为了方便，测量结果以经典方式控制量子门的符号来表示。
我们令输入到线路的双量子比特态为
其中，\(k, l \in \{0, 1\}\)。我们暂且不对测量过程之后的态进行归一化 (归一化前后的态代表相同的物理实在)。那么对于第一个线路，若对第一个量子比特测量得到态 \(|a\rangle \in \{|0\rangle, |1\rangle\}\)，
对于第二个线路，则是
注意到 \(P_a\) 是计算基下的投影算符，即 \(P_a \in \{ P_0, P_1 \}\)。由于 \(P_0, P_1\) 之间可对易即 \(P_0 P_1 = P_1 P_0\)，因此上两式中的 \(P_a\) 与 \(P_0, P_1\) 可对易，上述两个线路的结果其实是等价的。